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常用算法设计方法 之 递归

作者:任雪梅 发表于 2011/9/13 22:55:10     评论(0)     阅读(4324)     
四、递归

递归是设计和描述算法的一种有力的工具,由于它在复杂算法的描述中被经常采用,为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征:为求解规模为N的问题,设法将它分解成规模较小的问题,然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解,并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法,分解成规模更小的问题,并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地,当规模N=1时,能直接得解。
【问题】 编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib(n)。
斐波那契数列为:0、1、1、2、3、……,即:
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (当n>1时)。
写成递归函数有:
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段,把较复杂的问题(规模为n)的求解推到比原问题简单一些的问题(规模小于n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说,为计算fib(n),必须先计算fib(n-1)和fib(n-2),而计算fib(n-1)和fib(n-2),又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推,直至计算fib(1)和fib(0),分别能立即得到结果1和0。在递推阶段,必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中,当n为1和0的情况。
在回归阶段,当获得最简单情况的解后,逐级返回,依次得到稍复杂问题的解,例如得到fib(1)和fib(0)后,返回得到fib(2)的结果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后,返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意,函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层,当递推进入“简单问题”层时,原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层,它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用,并且可能会有一系列的重复计算,递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时,通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法,即从斐波那契数列的前两项出发,逐次由前两项计算出下一项,直至计算出要求的第n项。
【问题】 组合问题
问题描述:找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5,r=3的所有组合为: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1
(10)3、2、1
分析所列的10个组合,可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时,其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字,约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中,当一个组合求出后,才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k,函数将确定组合的第一个数字放入数组后,有两种可能的选择,因还未去顶组合的其余元素,继续递归去确定;或因已确定了组合的全部元素,输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
# include
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}

void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【问题】 背包问题
问题描述:有不同价值、不同重量的物品n件,求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案,使选中物品的总重量不超过指定的限制重量,但选中物品的价值之和最大。
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1,物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案,并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ],该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案,其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品,现在要考虑第i件物品;当前方案已包含的物品的重量之和为tw;至此,若其余物品都选择是可能的话,本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时,继续考察当前方案变成无意义的工作,应终止当前方案,立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时,该方案不会被再考察,这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。
对于第i件物品的选择考虑有两种可能:
(1) 考虑物品i被选择,这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后,继续递归去考虑其余物品的选择。
(2) 考虑物品i不被选择,这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。
按以上思想写出递归算法如下:
try(物品i,当前选择已达到的重量和,本方案可能达到的总价值tv)
{ /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 将物品i包含在当前方案中;
if (i try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一个完整方案,因为它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
恢复物品i不包含状态;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if (不包含物品i仅是可男考虑的)
if (i try(i+1,tw,tv-物品i的价值);
else
/*又一个完整方案,因它比前面的方案好,以它作为最佳方案*/
以当前方案作为临时最佳方案保存;
}
为了理解上述算法,特举以下实例。设有4件物品,它们的重量和价值见表:
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
价值 4 4 3 1

并设限制重量为7。则按以上算法,下图表示找解过程。由图知,一旦找到一个解,算法就进一步找更好的佳。如能判定某个查找分支不会找到更好的解,算法不会在该分支继续查找,而是立即终止该分支,并去考察下一个分支。

按上述算法编写函数和程序如下:
【程序】
# include
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/
if (tw+a[i].weight<=limitW)
{ cop[i]=1;
if (i else
{ for (k=0;k option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop[i]=0;
}
/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/
if (tv-a[i].value>maxV)
if (i else
{ for (k=0;k option[k]=cop[k];
maxv=tv-a[i].value;
}
}

void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for (totv=0.0,k=0;k { scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k find(0,0.0,totV);
for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
}
作为对比,下面以同样的解题思想,考虑非递归的程序解。为了提高找解速度,程序不是简单地逐一生成所有候选解,而是从每个物品对候选解的影响来形成值得进一步考虑的候选解,一个候选解是通过依次考察每个物品形成的。对物品i的考察有这样几种情况:当该物品被包含在候选解中依旧满足解的总重量的限制,该物品被包含在候选解中是应该继续考虑的;反之,该物品不应该包括在当前正在形成的候选解中。同样地,仅当物品不被包括在候选解中,还是有可能找到比目前临时最佳解更好的候选解时,才去考虑该物品不被包括在候选解中;反之,该物品不包括在当前候选解中的方案也不应继续考虑。对于任一值得继续考虑的方案,程序就去进一步考虑下一个物品。
【程序】
# include
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int flg;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv[i].flg=1;
twv[i].tw=tw;
twv[i].tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv[i].flg;
tw=twv[i].tw;
tv=twv[i].tv;
switch(f)
{ case 1: twv[i].flg++;
if (tw+a[i].weight<=limitW)
if (i { next(i+1,tw+a[i].weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv[i].flg=0;
if (tv-a[i].value>maxv)
if (i { next(i+1,tw,tv-a[i].value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a[i].value;
for (k=0;k cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}

void main()
{ double maxv;
printf(“输入物品种数\n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“输入限制重量\n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“输入各物品的重量和价值\n”);
for (k=0;k scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“\n选中的物品为\n”);
for (k=0;k if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“\n总价值为%.2f\n”,maxv);
}
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